Question

已知函数f（x）=ln|x+1|-ax²．
（Ⅰ）若a=

2

3

且函数f（x）的定义域为（-1，+∞），求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=0，求证f（x）≤|x+1|-1；
（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象在原点O处的切线为l，试探究：是否存在实数a，使得函数y=f（x）的图象上存在点在直线l的上方？若存在，试求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=

2

3

且x＞-1时，f（x）=ln（x+1）-

2

3

x²，求导，在定义域内解不等式f′（x）＞0可得；
（Ⅱ）当a=0时，不等式f（x）≤|x+1|-1即ln|x+1|-|x+1|+1≤0，令t=|x+1|，则t＞0，此时不等式ln|x+1|-|x+1|+1≤0等价于不等式lnt-t+1≤0（t＞0），令φ（t）=lnt-t+1，利用导数可证明φ（t）≤0；
（Ⅲ）由导数的几何意义可求得直线l的方程为y=x．令g（x）=ln|x+1|-ax²-x，则命题“函数y=f（x）的图象上存在点在直线l的上方”可等价转化为“存在x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），使得g（x）＞0．”分①当a＞0时，②a≤0两种情况讨论，a＞0时可化为极大值大于0；a≤0时，由存在x=-e-1使得g（-e-1）=e+2-a（e+1）²＞0恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）当a=

2

3

且x＞-1时，f（x）=ln（x+1）-

2

3

x²，
f′（x）=

1

x+1

-

4

3

x=

-4x2-4x+3

3(x+1)

=-

(2x+3)(2x-1)

3(x+1)

，
令f′（x）＞0，∵x＞-1，∴（2x+3）（2x-1）＜0，解得-1＜x＜

1

2

，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，

1

2

）；
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=ln|x+1|，不等式f（x）≤|x+1|-1即ln|x+1|-|x+1|+1≤0，
令t=|x+1|，则t＞0，
此时不等式ln|x+1|-|x+1|+1≤0等价于不等式lnt-t+1≤0（t＞0），
令φ（t）=lnt-t+1，则φ′（t）=

1

t

-1=

1-t

t

．
令φ′（t）=0，得t=1，
当t∈（0，1）时φ′（t）＞0，φ（t）递增；当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＜0，φ（t）递减，
故t=1时，φ（t）取得极大值，也为最大值，
∴t＞0时，φ（t）≤φ（1）=0，即lnt-t+1≤0，
∴f（x）≤|x+1|-1成立．
（Ⅲ）当x＞-1时，f（x）=ln（x+1）-ax²．f′（x）=

1

x+1

-2ax，
∴直线l的斜率k=f′（0）=1，
又f（0）=0，∴直线l的方程为y=x．
令g（x）=ln|x+1|-ax²-x，则命题“函数y=f（x）的图象上存在点在直线l的上方”可等价转化为“存在x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），使得g（x）＞0．”
当x＞-1时，g（x）=ln（x+1）-ax²-x，g′（x）=

1

x+1

-2ax-1，当x＜-1时，g（x）=ln（-x-1）-ax²-x，g′（x）=

1

x+1

-2ax-1，
∴对x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），都有g′(x)=

-2ax2-(2a+1)x

x+1

=

-2ax(x+1+ 1 2a )

x+1

．
令g′（x）=0，解得x=0或x=-

2a+1

2a

．
①当a＞0时，-

2a+1

2a

＜-1，当x∈（-∞，-1-

1

2a

）∪（-1，0）时，g′（x）＞0；当x∈（-1-

1

2a

，-1）∪（0，+∞）时，g′（x）＜0；
∴x=-1-

1

2a

或0时，g（x）取得极大值，
又g（-1-

1

2a

）=ln

1

2a

+

1

4a

-a，g（0）=0，
∴为使命题“存在x∈（-∞，-1）∪（-1，+∞），使得g（x）＞0”成立，只需g（-1-

1

2a

）=ln

1

2a

+

1

4a

-a＞0，
令t=

1

2a

，则g（-1-

1

2a

）=lnt-

1

2t

+

1

2

t，令h（t）=lnt-

1

2t

+

1

2

t（t＞0），
∵h′（t）=

1

t

+

1

2t2

+

1

2

＞0，∴h（t）在（0，+∞）上为增函数，
又注意到h（1）=0，∴当且仅当t=

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

时，h（t）＞0，
故关于a的不等式ln

1

2a

+

1

4a

-a＞0的解集为{a|0＜a＜

1

2

}；
②当a≤0时，∵存在x=-e-1使得g（-e-1）=e+2-a（e+1）²＞0恒成立．
∴总存在点（-e-1，1-a（e+1）²）在直线l的上方．
综合①②，可知a的取值范围为{a|a＜

1

2

}．

点评：本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．