Question

2．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由条件求得sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．利用正弦定理求得△ABC外接圆的半径为R的值，化简AB+BC 为2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，由此可得△ABC周长的最大值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）-cos（2x+$\frac{π}{6}$）-$\sqrt{3}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，∴sin（2B-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
∵AC=$\sqrt{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$，设△ABC外接圆的半径为R，则2R=$\frac{AC}{sinB}$=2，
∴AB+BC=2RsinC+2RsinA=2R[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=2[sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA]
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）≤2$\sqrt{3}$，
故△ABC周长的最大值为AB+BC+AC=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，此时，A=$\frac{π}{3}$=B，△ABC为等边三角形．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的值域，属于中档题．