Question

10．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CB⊥平面BAA₁B₁，且四边形BAA₁B₁是正方形，M，N分别是AA₁，BC的中点．
（I）求证：AB₁⊥CA₁；
（Ⅱ）求证：AN∥平面MB₁C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推导出AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，由此能证明AB₁⊥CA₁．
（Ⅱ）设BC₁∩B₁C=O，连结NO、MO，推导出四边形AMON是平行四边形，从而AN∥MO，由此能证明AN∥平面MB₁C．

解答 证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁，CB⊥平面BAA₁B₁，且四边形BAA₁B₁是正方形，
∴AB₁⊥A₁B，AB₁⊥CB，
∵A₁B∩CB=B，∴AB₁⊥平面A₁BC，
∵CA₁?平面A₁BC，∴AB₁⊥CA₁．
（Ⅱ）设BC₁∩B₁C=O，连结NO、MO，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴O是B₁C的中点，
∵M，N分别是AA₁，BC的中点，
∴NO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，AM$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，∴NO$\underset{∥}{=}$AM，
∴四边形AMON是平行四边形，∴AN∥MO，
∵AN?平面MB₁C，MO?平面MB₁C，
∴AN∥平面MB₁C．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．