Question

13．设m∈R，过定点A的动直线mx+y-1=0与过定点B的动直线x-my+m+2=0交于点P（x，y），则|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的取值范围为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由动直线mx+y-1=0，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．|AB|=2．求出P的方程，当PA⊥PB时，|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=|AB|²=4，利用基本不等式即可得出结果．

解答 解：由动直线mx+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．
∵|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+0}$=2．
∴当PA⊥PB时|$\overrightarrow{PA}$|²+|$\overrightarrow{PB}$|²=|AB|²=4，
$\left\{\begin{array}{l}{mx+y-1=0}\\{x-my+m+2=0}\end{array}\right.$，可得P的轨迹方程为：x²+y²-2y+2x+1=0．圆心为（-1，1）半径为1的圆，A，B在圆上，
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|≤$\sqrt{2（|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}）}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{2}$时取等号．
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的最大值为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线系、勾股定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．