Question

4．新学年伊始，某中学学生社团开始招新，某高一新生对“海济公益社”、“理科学社”、“高音低调乐社”很感兴趣，假设她能被这三个社团接受的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$．
（1）求此新生被两个社团接受的概率；
（2）设此新生最终参加的社团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设事件A表示“此新生能被海济公益社接受”，事件B表示“此新生能理科学社接受”，事件C表示“此新生能被高音低调乐社接受”，此新生被两个社团接受的概率为：P（$AB\overline{C}$+A$\overline{B}$C+$\overline{A}BC$），由此能求出结果．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设事件A表示“此新生能被海济公益社接受”，事件B表示“此新生能理科学社接受”，
事件C表示“此新生能被高音低调乐社接受”，
则P（A）=$\frac{3}{4}$，P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C）=$\frac{1}{3}$，
∴此新生被两个社团接受的概率为：
P（$AB\overline{C}$+A$\overline{B}$C+$\overline{A}BC$）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{5}{12}$．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{24}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{9}{24}$，
P（ξ=2）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{10}{24}$．
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{3}{24}$，
∴ξ的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{2}{24}$	$\frac{9}{24}$	$\frac{10}{24}$	$\frac{3}{24}$

E（X）=$0×\frac{2}{24}+1×\frac{9}{24}+2×\frac{10}{24}+3×\frac{3}{24}$=$\frac{19}{12}$．

点评 本题考查概率、离散型随机变量的分布列及数学期望、互斥事件概率计算公式、相互独立事件概率概率乘法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．