Question

3．设函数f（x）=1nx+$\frac{a}{x-1}$（a＞0）．
（I）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间（0，$\frac{1}{e}$）内有极值点，当x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）时，求证：f（x₂）-f（x₁）值不小于4（其中e为自然对数的底数，e=2.71828…）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）得到f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$，f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，
问题转化为f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），根据αβ=1，α+β=a+2，求出f（β）-f（α ）的解析式，记h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e），根据函数的单调性证明即可．

解答 （1）解：当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=lnx+$\frac{1}{2（x-1）}$（x＞0且x≠1），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{（x-1）^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-5x+2}{2x（x-1）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$或2，
列表如下：

x	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，1）	（1，2）	2	（ 2，+∞）
f′（x）	+	0	-	-	0	+
f（x）	↑		↓	↓		↑

由表格可知函数f（x）的单调区间递增区间为：（0，$\frac{1}{2}$），（2，+∞），
单调递减区间为：（$\frac{1}{2}$，1），（1，2）；
（2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x₁∈（0，1），可得f（x₁）≤f（α）=lnα+$\frac{a}{α-1}$，
由x₂∈（1，+∞），可得f（x₂）≥f（β）=lnβ+$\frac{a}{β-1}$，
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2，
∴f（β）-f（α ）=2lnβ+a×$\frac{α-β}{（α-1）（β-1）}$
=2lnβ+a×$\frac{\frac{1}{β}-β}{2-（a+2）}$=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$，
记h（β）=2lnβ+β-$\frac{1}{β}$（β＞e），
则h′（β）=$\frac{2}{β}$+1+$\frac{1}{{β}^{2}}$＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增，
∴h（β）＞h（e）=e+2-$\frac{1}{e}$，
∴f（x₂）-f（x₁）＞e+2-$\frac{1}{e}$≥4．
则f（x₂）-f（x₁）值不小于4．

点评 本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查不等式的证明，综合性比较强．