Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂向其中一条渐进线作垂线，垂足为N，已知点M在y轴上，且满足

F2M

=2

F2N

，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2

  3

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出右焦点和一条渐近线方程，由向量共线可得N为F₂M的中点，运用两直线垂直的条件和点斜式方程，求得MN的方程，进而得到M，N的坐标，运用中点坐标公式，结合离心率公式，计算即可得到．

解答： 解：设F₂（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=

b

a

x，
由于

F2M

=2

F2N

，则有N为F₂M的中点，
又垂线MN为y=-

a

b

（x-c），
联立渐近线方程可得N（

a2

c

，

ab

c

），
而M（0，

ac

b

），
由中点坐标公式可得c+0=

2a2

c

，
则有c=

2

a，e=

c

a

=

2

．
故选：A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查向量共线的定理，考查中点坐标公式的运用，考查运算能力，属于基础题．