Question

已知函数g（x）=f（x）+x（x∈R）为奇函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）=log₂x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断；
（2）根据函数奇偶性的性质即可求g（x）的解析式．

解答： 解：（1）∵函数g（x）=f（x）+x（x∈R）为奇函数，
∴g（-x）=-g（x），
即f（-x）-x=-f（x）-x，
即f（-x）=-f（x）
则函数f（x）是奇函数；
（2）∵x＜0，∴-x＞0，
则f（-x）=log₂（-x），
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），x＜0，
则g（x）=f（x）+x=x-log₂（-x），x＜0
故当x＜0时，函数g（x）的解析式为g（x）=x-log₂（-x），x＜0．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，和函数奇偶性的应用，利用定义法是解决本题的关键．