Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．若对任意x∈R，f（x）≤f（x+2），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用

分析：由于当x＞0时，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．可得当当0＜x≤a²时，f（x）=-2x；当a²＜x≤3a²时，f（x）=-2a²；当x＞3a²时，f（x）=2x-8a²．画出其图象．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象．由于x∈R，f（x）≤f（x+2）可得8a²≤2，解出即可．

解答： 解：∵当x＞0时，f（x）=|x-a²|+|x-3a²|-4a²．
∴当0＜x≤a²时，f（x）=a²-x+3a²-x-4a²=-2x；
当a²＜x≤3a²时，f（x）=x-a²+3a²-x-4a²=-2a²；
当x＞3a²时，f（x）=x-a²+x-3a²-4a²=2x-8a²．
画出其图象如下：

由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象，与x＞0时的图象关于原点对称．
∵?x∈R，f（x+2）≥f（x），
∴8a²≤2，
解得a∈[-

1

2

，

1

2

]．
∴实数a的取值范围为[-

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2

，

1

2

]．
故答案为：[-

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2

，

1

2

]．

点评：本题考查了函数奇偶性、周期性，考查了分类讨论的思想方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．