Question

设函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a，b，c为实数，且a≠0)，F(x)＝.

(1)若f(－1)＝0，曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，且在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，求F(x)的表达式；

(2)在(1)的条件下，当x∈[－1,1]时，g(x)＝kx－f(x)是单调函数，求实数k的取值范围；

(3)设mn<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0.

Answer 1

 [解析]　(1)因为f(x)＝ax²＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b.

又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f ′(－1)＝0，

即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①

因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②

又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，

所以c＝2a＋3.③

解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.

从而f(x)＝－3x²－6x－3.

所以F(x)＝.

(2)由(1)知f(x)＝－3x²－6x－3，

所以g(x)＝kx－f(x)＝3x²＋(k＋6)x＋3.

由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：

－≤－1或－≥1，

得k≤－12或k≥0.

(3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0.

因此f(x)＝ax²＋c.

又因为mn<0，m＋n>0，可知m，n异号．

若m>0，则n<0.

则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am²＋c－an²－c

＝a(m＋n)(m－n)>0.

若m<0，则n>0.

同理可得F(m)＋F(n)>0.

综上可知F(m)＋F(n)>0.