Question

14．某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民注射，每个区均能从中任选其中一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区注射的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，求 X的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）设三个区注射的疫苗批号中恰好有两个区相同记为事件A，利用相互独立事件的概率公式求概率即可；
（2）设三个区选择的疫苗批号的中位数为X，写出X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）设三个区注射的疫苗批号中恰好有两个区相同记为事件A，
则：P（A）=$\frac{C_5^2•C_3^2•A_2^2}{5^3}=\frac{12}{25}$；
（2）设三个区选择的疫苗批号的中位数为X，则X的所有可能取值为1，2，3，4，5；
$P（{X=1}）=\frac{1+C_3^2•4}{5^3}=\frac{13}{125}，P（{X=2}）=\frac{1+C_3^2•4+C_3^1•A_3^3}{5^3}=\frac{31}{125}$，
$P（{X=3}）=\frac{1+C_3^2•4+C_2^1•C_2^1•A_3^3}{5^3}=\frac{37}{125}，P（{X=4}）=\frac{1+C_3^2•4+C_3^1•A_3^3}{5^3}=\frac{31}{125}$，
$P（{X=5}）=\frac{1+C_3^2•4}{5^3}=\frac{13}{125}$；
所以X的分布列：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{13}{125}$	$\frac{31}{125}$	$\frac{37}{125}$	$\frac{31}{125}$	$\frac{13}{125}$

X的数学期望为：$EX=1×\frac{13}{125}+2×\frac{31}{125}+3×\frac{37}{125}+4×\frac{31}{125}+5×\frac{13}{125}=3$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．