Question

11．已知x，y∈R，m+n=7，f（x）=|x-1|-|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥（m+n）x；
（2）设max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，求F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}的最小值．

Answer 1

分析 （1）对x的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式解出；
（2）将两式相加，利用绝对值不等式化简即可得出结论．

解答 解：（1）不等式f（x）≥（m+n）x等价于|x-1|-|x+1|-7x≥0，
当x≤-1时，不等式可化为2-7x≥0，解得x≤$\frac{2}{7}$，又x≤-1，故x≤-1；
当x≥1时，不等式可化为-2-7x≥0，解得x≤-$\frac{2}{7}$，舍去；
当-1＜x＜1时，不等式可化为-2x-7x≥0，解得x≤0，又-1＜x＜1，故-1＜x≤0．
综上，不等式的解集为{x|x≤0}．
（2）∵F=max{|x²-4y+m|，|y²-2x+n|}，
∴F≥|x²-4y+m|，F≥|y²-2x+n|，
两式相加得：2F≥|x²-4y+m|+|y²-2x+n|≥|x²+y²-2x-4y+7|=|（x-1）²+（y-2）²+2|≥2，
∴F≥1．当且仅当x=1，y=2时取得等号．
即F的最小值为1．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，属于中档题．