Question

2．已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2acosA=c•cosB+b•cosC，其外接圆的半径R=2．
（1）求角A的大小；
（2）若b²+c²=18，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA，又0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由（1）求得cosA的值，进而由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用正弦定理可求a，利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，
∴由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC，
∴2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，
又∵0＜A＜π，可得：sinA≠0，
∴2cosA=1，可得：cosA=$\frac{1}{2}$．
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得：cosA=$\frac{1}{2}$，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于外接圆的半径R=2，2R=4，利用正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=4．
可得：a=4sinA=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．…（6分）
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，可得：bc=b²+c²-a²=18-12=6．…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式是解题的关键，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．