Question

9．将函数$f（x）=sin（{2x+φ}）（{|φ|＜\frac{π}{2}}）$的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后，所得函数g（x）的图象关于原点对称，则函数f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的最大值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$的最大值．

解答 解：将函数$f（x）=sin（{2x+φ}）（{|φ|＜\frac{π}{2}}）$的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位长度后，
可得函数g（x）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）的图象，根据所得图象关于原点对称，
可得$\frac{2π}{3}$+φ=π，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
在$[{0，\frac{π}{2}}]$上，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）取得最大值为1，
故选：D．

点评 本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．