Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=c，2sinB=$\sqrt{3}$sinA．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为$2sinB=\sqrt{3}sinA$，所以$2b=\sqrt{3}a$，利用余弦定理求cosB的值；
（Ⅱ）若a=2，求出b，c，sinB，利用三角形面积公式求△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）因为$2sinB=\sqrt{3}sinA$，所以$2b=\sqrt{3}a$．
所以$a=\frac{2b}{{\sqrt{3}}}$．
所以$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{{（\frac{2b}{{\sqrt{3}}}）}^2}+{b^2}-{b^2}}}{{2×\frac{2b}{{\sqrt{3}}}•b}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．     …（7分）
（Ⅱ）因为a=2，所以$b=c=\sqrt{3}$．
又因为$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以$sinB=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\sqrt{2}$．        …（13分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．