Question

13．已知曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1（k∈R）．
（1）若曲线C是椭圆，求实数k的取值范围；
（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，求此双曲线的方程．

Answer 1

分析 （1）将曲线C的方程化为标准方程，由椭圆方程可得k的不等式，解不等式即可得到所求范围；
（2）求得双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，即为y²-3x²=0，再由曲线C的方程，将右边的k+1换为0，可得渐近线方程，即有k的方程，解方程可得k，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：（1）曲线C的方程为kx²+（4-k）y²=k+1，即为$\frac{{x}^{2}}{\frac{k+1}{k}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{k+1}{4-k}}$=1，
若曲线C是椭圆，即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k+1}{k}＞0}\\{\frac{k+1}{4-k}＞0}\\{\frac{k+1}{k}≠\frac{k+1}{4-k}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0，或k＜-1}\\{-1＜k＜4}\\{k≠-1，k≠2，k≠0，k≠4}\end{array}\right.$，
解得0＜k＜2或2＜k＜4；
（2）若曲线C是双曲线，
即有渐近线方程为kx²+（4-k）y²=0，
由一条渐近线的倾斜角为$\frac{π}{3}$，可得
渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，即为y²-3x²=0，
又y²+$\frac{k}{4-k}$x²=0，
则有$\frac{k}{4-k}$=-3，解得k=6．
则曲线C的方程为6x²-2y²=7，即为$\frac{6}{7}$x²-$\frac{2}{7}$y²=1．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于中档题．