Question

已知数列{a_n}，a₁=2，（n+1）a_n=S_n+n³+n²，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：在数列递推式中取n=n-1得到另一递推式，作差后整理得到a_n-a_n-1=3n-1（n≥2），然后利用累加法求数列的通项公式．

解答： 解：由（n+1）a_n=S_n+n³+n²，得
nan-1=Sn-1+(n-1)3+(n-1)2（n≥2），
两式作差并整理得，a_n-a_n-1=3n-1（n≥2），
∴a₂-a₁=5．
a₃-a₂=8．
a₄-a₃=11．
…
a_n-a_n-1=3n-1（n≥2）．
累加得：an-a1=5+8+…+3n-1=

(5+3n-1)(n-1)

2

，
∵a₁=2，
∴an=

3n2+n

2

n≥2）．
验证n=1时上式成立，
∴an=

3n2+n

2

．
故答案为：

3n2+n

2

．

点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．