题目内容
已知函数f（x）=2cosxsinx+2
cos2x-
，将函数f（x）的图象整体向右平移
个单位，所得图象对应的函数记为g（x）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调增区间；
（2）当x∈[
，
]时，求函数g（x）的值域．
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| π |
| 6 |
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调增区间；
（2）当x∈[
| π |
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考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：化简函数f（x）为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用函数图象的平移得到函数g（x）的解析式．
（1）直接由周期公式求函数f（x）的周期，利用复合函数的单调性的求法求函数f（x）的单调增区间；
（2）直接由x的范围求得2x的范围，进一步求得函数g（x）的值域．
（1）直接由周期公式求函数f（x）的周期，利用复合函数的单调性的求法求函数f（x）的单调增区间；
（2）直接由x的范围求得2x的范围，进一步求得函数g（x）的值域．
解答：
解：∵f（x）=2cosxsinx+2
cos2x-
=sin2x+
(2cos2x-1)=sin2x+
cos2x=2sin(2x+
)．
∴函数f（x）的图象整体向右平移
个单位，所得图象对应的函数：
g（x）=f（x-
）=2sin[2(x-
)+
]=2sin2x．
（1）函数f（x）的最小正周期T=
=π．
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ，k∈Z，
得-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为[-
+kπ，
+kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[
，
]时，2x∈[
，
]，
≤2sin2x≤2．
∴函数g（x）的值域为[
，2]．
| 3 |
| 3 |
=sin2x+
| 3 |
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| π |
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∴函数f（x）的图象整体向右平移
| π |
| 6 |
g（x）=f（x-
| π |
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| π |
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| π |
| 3 |
（1）函数f（x）的最小正周期T=
| 2π |
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由-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
得-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴函数f（x）的单调增区间为[-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2）当x∈[
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
∴函数g（x）的值域为[
| 3 |
点评：本题考查了三角函数中的恒等变换与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型的周期与单调性的求法，训练了利用角的范围求三角函数值的范围，是中档题．
练习册系列答案
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
相关题目
若平面向量
，
的夹角为60°，且|
|=2|
|，则（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
如图，f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0，A＞0，-π＜φ＜0）．