Question

若定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），则下列结论：
①f（x）的图象过点（1，0）；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）是周期函数，且2是它的一个周期；
④f（x）在区间（-1，1）上是单调函数；
其中正确结论的序号是

 

（填上你认为所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据奇函数f（0）=0和条件判断①；再由奇函数的性质和条件的f（1+x）=f（-x）得，函数的对称轴方程判断②；再由f（1+x）=-f（x）求出函数的周期判断③；根据函数的对称轴判断④．

解答： 解：∵定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），
∴f（1）=-f（0）=0，则f（x）的图象过点（1，0），①正确；
由f（1+x）=-f（x）=f（-x）得，f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，②不正确；
令x取x+1代入f（1+x）=-f（x）得，f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
则f（x）是周期函数，且2是它的一个周期，③正确；
∵f（x）的图象关于直线x=

1

2

对称，∴f（x）在区间（-1，1）上不是单调函数，
则④不正确；
故答案为；①③．

点评：本题考查了函数奇偶性、周期性、对称性和单调性的综合应用，关键是熟练掌握函数奇偶性、周期性、对称性的定义、性质，以及利用赋值法对等式进行灵活变形．