Question

在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线l：θ=

π

4

与曲线C：

x=t+1 y=(t-1)2

（t为参数），相交于A、B两点．
（1）写出射线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程；
（2）求线段AB的中点极坐标．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）先把射线l的极坐标方程化为参数方程，再消去消去参数，化为直角坐标方程．
（2）联立方程组，求得直线和曲线的交点的直角坐标，可得线段的中点的直角坐标，再把它化为极坐标．

解答： 解：（1）射线l：θ=

π

4

的直角坐标方程为y=x（x≥0），化为参数方程为

x= 2 2 t y= 2 2 t

 （t为参数，且t≥0）．
把曲线C：

x=t+1 y=(t-1)2

（t为参数），消去参数，化为直角坐标方程为y=（x-2）²．
（2）联立

y=x y=(x-2)2

，求得

x=1 y=1

，或

x=4 y=4

，∴A（1，1），B（4，4），
故AB的中点为（

5

2

，

5

2

），化为极坐标为（

5 2

2

，

π

4

）．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点的直角坐标、极坐标间的互化，求曲线的交点，属于基础题．