Question

已知{a_n}是首项为a，公差不为零的等差数列，{a_n}的部分项a k1、a k2、…、a kn恰好为等比数列，且k₁=1，k₂=5，k₃=17．
（1）求数列{a_n}和{k_n}的通项公式；
（2）设数列{k_n}的前n项和为S_n求证：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，由已知得2d²=ad，所以d=

a

2

．a_n=a₁+（n-1）d=

n+1

2

a．akn=

kn+1

2

a，而等比数列{a kn}的公比q=

a5

a1

=

3a

a

=3，由此能求出kn=2×3n-1-1．
（2）由（1）知，S_n=3ⁿ-n-1．由二项式定理推导出3ⁿ-n-1＞2ⁿ，n≥2．所以

1

Sn

=

1

3n-n-1

＜

1

2n

，n≥2．由此能证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

2

．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由已知得a₁=a，a₅=a+4d，a₁₇=a+16成等比数列，
∴（a+4d）²=a（a+16d），即2d²=ad．
∵d≠0，∴d=

a

2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=a+（n-1）•

a

2

=

n+1

2

a．
∴akn=

kn+1

2

a，而等比数列{a kn}的公比q=

a5

a1

=

3a

a

=3，
∴akn=a1•3n-1=a•3^n-1，
故

kn+1

2

a=a•3n-1．
由a₁=a≠0，得kn=2×3n-1-1．
（2）由（1）知，Sn=2×(1+3+32+…+3n-1)-n
=

2(1-3n)

1-3

-n=3ⁿ-n-1．
∵当n＞1时，3ⁿ=（1+2）ⁿ=

C

0 n

+C

1 n

×2+

C

2 n

×22+…+

C

n-1 n

×2n-1

+C

n n

×2n
≥

C

0 n

+C

1 n

×2+

C

n n

×2n
=2ⁿ+2n+1＞2ⁿ+n+1，
∴3ⁿ-n-1＞2ⁿ，n≥2．
∴

1

Sn

=

1

3n-n-1

＜

1

2n

，n≥2．
∴当n≥2时，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=

3

2

-(

1

2

)n＜

3

2

．
当n=1时，左边=

1

S1

=1＜

3

2

，不等式也成立．
综上所述，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意二项式定理的合理运用．