Question

6．设向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6，|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，则|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范围为（　　）

• A． [4，8]
• B． [4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$]
• C． （4，8）
• D． （4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根据题意，设（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，由向量数量积的运算性质有|$\overrightarrow{b}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{a}$]²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$+|$\overrightarrow{a}$|²=40-24cosθ，分析可得|$\overrightarrow{b}$|的范围，又由|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，则|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，分析可得答案．

解答 解：根据题意，设（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）与$\overrightarrow{a}$的夹角为θ，$\overrightarrow{b}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{a}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=6，
则|$\overrightarrow{b}$|²=[（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{a}$]²=|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²-2（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$+|$\overrightarrow{a}$|²=40-24cosθ，
即16≤|$\overrightarrow{b}$|²≤64，
分析可得：4≤|$\overrightarrow{b}$|≤8，
又由|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{c}$|，且$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，则|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，
则有4$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|≤8$\sqrt{2}$，
故|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$|的取值范围为[4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$]，
故选：B．

点评 本题考查向量的数量积的计算，涉及向量加减以及模的计算，关键是掌握向量的加减法的几何意义．