Question

18．已知函数$f（x）=3sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+3$
（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
（2）指出f（x）的周期、振幅、初相、单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$分别取0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π得到相应的x的值及函数值，列表作图即可；
（2）由f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3，利用正弦函数的图象和性质可求得其周期、振幅、初相、单调递增区间．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$分别取0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，得到相应的x的值及函数值，列表如下：

$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2 π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
y=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3	3	6	3	0	3

作出一个周期内的图象：

（2）∵f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3，
∴其周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，振幅A=3，初相φ=$\frac{π}{6}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，（k∈Z），
可得f（x）的单调递增区间为：[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，（k∈Z）．

点评 本题考查用五点法作图，着重考查正弦函数的性质与作图能力，属于基础题．