Question

15．已知复数z满足|z|=$\sqrt{2}$，z²的虚部为-2，且z所对应的点在第二象限．
（1）求复数z；
（2）若复数ω满足|ω-1|≤$\frac{\overline{z}}{z+i}$，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．

Answer 1

分析 （1）设出复数z，利用已知列出方程组，求解可得复数z；
（2）把复数z=-1+i代入$\frac{\overline{z}}{z+i}$，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算|$\frac{\overline{z}}{z+i}$|，由复数ω满足|ω-1|≤$\frac{\sqrt{10}}{5}$，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），则z²=x²-y²+2xyi，
由|z|=$\sqrt{2}$，z²的虚部为-2，且z所对应的点在第二象限，
得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{2}}\\{2xy=-2}\\{x＜0，y＞0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴z=-1+i；
（2）由（1）知：复数z=-1+i，
∴$\frac{\overline{z}}{z+i}$=$\frac{-1-i}{-1+2i}=\frac{（-1-i）（-1-2i）}{（-1+2i）（-1-2i）}=\frac{-1+3i}{5}$=$-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i$，
∴|$\frac{\overline{z}}{z+i}$|=$\sqrt{（-\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴复数ω满足|ω-1|≤$\frac{\sqrt{10}}{5}$，由复数的几何意义得：
ω在复平面内对应的点的集合构成图形是以（1，0）为圆心，$\frac{\sqrt{10}}{5}$为半径的圆面，
∴其面积为$π•（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}=\frac{2π}{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题．