Question

14．在三棱锥A-BCD中AB=AC=1，DB=DC=2，AD=BC=$\sqrt{3}$，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为（　　）

• A． π
• B． $\frac{7π}{4}$
• C． 4π
• D． 7π

Answer 1

分析 建立坐标系，求出外接球的球心，计算外接球的半径，从而得出外接球面积．

解答 解：∵AB=AC=1，AD=BC=$\sqrt{3}$，BD=CD=2，
∴AB⊥AD，AC⊥AD，
∴AD⊥平面ABC，
在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB•AC}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠ABC=120°，
以AC为x轴，以AD为z轴建立如图所示的坐标系：
则A（0，0，0），B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），C（1，0，0），D（0，0，$\sqrt{3}$），
设棱锥A-BCD的外接球球心为M（x，y，z），
则x²+y²+z²=（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+z²=（x-1）²+y²+z²=x²+y²+（z-$\sqrt{3}$）²，
解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴外接球的半径为r=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
∴外接球的表面积S=4πr²=7π．
故选D．

点评 本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．