Question

已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的最小值；
（Ⅲ）若存在（是自然对数的底数）使，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）函数的减区间是,增区间是；
（Ⅱ）的最小值为；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）求出的导数，由的符号确定的单调区间；
（Ⅱ）求出的导数，由在上恒成立求得实数的最小值；（Ⅲ）注意左右两边的自变量是独立的.若存在使成立，则.故首先求出然后解不等式求实数的取值范围.
试题解析：解：（Ⅰ）由得, 且,则函数的定义域为,
且,令,即,解得
当且时, ;当时,
函数的减区间是,增区间是                           4分
（Ⅱ）由题意得：函数在上是减函数，
在上恒成立，即在上恒成立
令，因此即可

当且仅当，即时取等号
因此，故的最小值为.                             8分
（Ⅲ）命题“若存在，使，”等价于
“当时，有”，
由（Ⅱ）得，当时，，则，
故问题等价于：“当时，有”，
,由（Ⅱ）知,
（1）当时，在上恒成立，因此在 上为减函数，则,故,
（2）当时，在上恒成立，因此在上为增函数，
则，不合题意
（3）当时，由于在上为增函数，
故的值域为，即
由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；
所以，
所以，与矛盾，不合题意
综上，得.                                             12分