Question

已知函数，，其中为常数，，函数和的图像在它们与坐标轴交点处的切线分别为、，且.
（1）求常数的值及、的方程；
（2）求证：对于函数和公共定义域内的任意实数，有；
（3）若存在使不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1），所以直线的方程为，直线的方程为；
（2）详见解析；（3）实数的取值范围是.

试题分析：（1）先确定函数、的图象与坐标轴的交点，利用相应的图象在交点处的切线平行列出有关的方程求解出的值，然后在确定两个函数图象与坐标轴的交点，利用导数求出直线、的方程；
（2）利用的性质，引入函数，从而将化为，构造新函数，，问题转换为进行处理；（3）将等价转化为，构造新函数，将问题转化为进行处理，结合导数来求函数的最小值，在判断导数的符号时，可以结合基本不等式来处理.
试题解析：（1）对于函数而言，，函数的定义域为，
故函数与轴无交点，因此函数与轴有交点，
令，解得，，，
，，即函数的图象与轴无交点，与轴有交点，
且，，
由题意知，，即，解得，因为，所以，
，，，，，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即；
（2）函数与的公共定义域为，
在同一坐标系中画出函数，和函数的图象，易知当时，，
，
令，，其中，
，故函数在上单调递增，所以，
，令，解得，
当时，，当时，，
故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，，
，证毕！
（3）问题等价于“存在使得成立”“存在使得成立”，其中，
令，则有，则函数的定义域为，

，故函数在上单调递减，所以，
因此，故实数的取值范围是.