Question

己知函数 .
(I)若是，的极值点，讨论的单调性；
(II)当时，证明：.

Answer 1

（I)当，单调递增；当时单调递减； (II)证明过程如下解析.

试题分析：（I)由是函数的极值点，可得，进而可得，进而分析的符号，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数的单调性；
（II) 要求，不易证明.但当时，进而转化证明.可由图像法确定零点的位置及进而确定的单调性及，得证.
试题解析：(I) 因为，所以，且.又因是，的极值点，所以，解得，所以，.另得，此时单调递增；当时，解得，此时单调递减.
（II) 当时，，所以.令，只需证 .令，即，由图像知解唯一，设为，则，.所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，因为，所以.综上，当时，.