Question

设，函数 
（1）当时,求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）当时,求函数的最小值

Answer 1

(1) ;(2) 在内单调递减，内单调递增；
（3） 

试题分析：(1)写出函数的解析式，求导得斜率，求切点，进而得直线方程，注意解析式的取舍（时）；（2）函数为分段函数，分段判单调性，求出函数的单调区间；（3）分和两种情况进行分析，在第二种情况下要对与区间进行比较，又分三种情况进行判断单调性，求最小值
试题解析：（1）当时，，令得，
所以切点为，切线斜率为1，
所以曲线在处的切线方程为： 
（2）当时
当时，，
在内单调递减，内单调递增；
当时，恒成立，故在内单调递增；
综上，在内单调递减，内单调递增．
（3）①当时，， 
，恒成立． 在上增函数．
故当时，
② 当时，，
（）
ⅰ)当，即时，在时为正数，所以函数在上为增函数，
故当时，，且此时 
ⅱ)当，即时，在时为负数，在时为正数，
所以在上为减函数，在为增函数
故当时，，且此时 
ⅲ)当，即时，在时为负数，所以函数在上为减函数，
故当时， 
综上所述，当时，函数在和时的最小值都是 
所以此时函数的最小值为；当时，函数在时的最小值为，而，
所以此时的最小值为