Question

已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。
（1）讨论函数的单调性；（2）若，设，
（ⅰ）求证g（x）为单调递增函数；
（ⅱ）求证对任意x，x，xx，有．

Answer 1

(1)当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1），（1，+∞）单调递增；
当a＞2时，f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增.
(2)见解析.

试题分析：(1)先求出函数的导函数，然后求出时的驻点，再由的大小关系讨论导函数的正负，从而确定函数的单调性；(2)（ⅰ）由得出；求出 ，由的范围得从而得出出，函数单调递增；（ⅱ）由单调递增定义可推导.
试题解析：（1）∵函数f（x）=x²-ax+（a-1）lnx，其中a＞1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
令解得：.
①若a-1=1，即a=2时,
故f（x）在（0，+∞）单调递增．
②若0＜a-1＜1，即1＜a＜2时，
由f′（x）＜0得，a-1＜x＜1；
由f′（x）＞0得，0＜x＜a-1，或x＞1．
故f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1），（1，+∞）单调递增．
③若a-1＞1，即a＞2时，
由f′（x）＜0得，1＜x＜a-1；由f′（x）＞0得，0＜x＜1，或x＞a-1．
故f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增．
综上可得，当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当1＜a＜2时，f（x）在（a-1，1）单调递减，在（0，a-1），（1，+∞）单调递增；
当a＞2时，f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增.
(2) （ⅰ）
则      .10分
由于1<a<5,故，即g(x)在(0, +∞) 上单调递增.                .11分
（ⅱ）由（ⅰ）知当时有，即，
故，当时，有 14分