Question

20．若f（x）=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{x}$，计算得当n=1时f（2）=$\frac{3}{2}$，当n≥2时有f（4）＞2，f（8）＞$\frac{5}{2}$，f（16）＞3，f（32）＞$\frac{7}{2}$，…，因此猜测当n≥2时，一般有不等式f（2ⁿ）≥$\frac{n+2}{2}$．

Answer 1

分析 我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案

解答 解：观察已知中等式：
得 f（2）=$\frac{3}{2}$，即f（2¹）=$\frac{2+1}{2}$，
f（4）＞2，即f（2²）＞$\frac{2+2}{2}$
f（8）＞$\frac{5}{2}$，即f（2³）＞$\frac{3+2}{2}$
f（16）＞3，即f（2⁴）＞$\frac{4+2}{2}$
f（32）＞$\frac{7}{2}$，即f（2⁵）＞$\frac{5+2}{2}$
…
则f（2ⁿ）≥$\frac{n+2}{2}$（n∈N^*）
故答案为：f（2ⁿ）≥$\frac{n+2}{2}$．

点评 本题考查归纳推理，把已知的式子变形找规律是解决问题的关键，属基础题．