Question

10．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）=2x²-f（-x）．当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜2x；若f（m+2）-f（-m）≤4m+4，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]
• B． （-∞，-2]
• C． [-1，+∞）
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x²，求出函数的奇偶性和单调性，问题转化为g（m+2）≤g（-m），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x²，
g′（x）=f′（x）-2x，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜2x，
∴g（x）在（-∞，0）递减，
而g（-x）=f（-x）-x²，
∴f（-x）+f（x）=g（-x）+x²+g（x）+x²=2x²，
∴g（-x）+g（x）=0，
∴g（x）是奇函数，g（x）在R递减，
若f（m+2）-f（-m）≤4m+4，
则f（m+2）-（m+2）²≤f（-m）-m²，
∴g（m+2）≤g（-m），
∴m+2≥-m，解得：m≥-1，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用，是一道中档题．