Question

12．已知向量$\overrightarrow m=（{sinα，-1}）$，$\overrightarrow n=（{\sqrt{3}，cosα}）$，α∈（0，π）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，求角α；
（Ⅱ）求$|\overrightarrow m+\overrightarrow n|$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sinα-cosα=0，化为：tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．又α∈（0，π）．即可得出．
（Ⅱ）$|\overrightarrow m+\overrightarrow n|$=$\sqrt{（\sqrt{3}+sinα）^{2}+（cosα-1）^{2}}$=$\sqrt{5+4sin（α-\frac{π}{6}）}$，利用三角函数的单调性值域即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\sqrt{3}$sinα-cosα=0，化为：tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．又α∈（0，π）．
∴α=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）$|\overrightarrow m+\overrightarrow n|$=$\sqrt{（\sqrt{3}+sinα）^{2}+（cosα-1）^{2}}$=$\sqrt{5+4sin（α-\frac{π}{6}）}$≤$\sqrt{5+4}$=3，
当且仅当sin$（α-\frac{π}{3}）$=1，即α=$\frac{5π}{6}$时取等号．
因此$|\overrightarrow m+\overrightarrow n|$的最大值为3．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．