Question

20．在Rt△ABC中，A=90°，AB=1，AC=2，D是斜边BC上一点，且BD=2DC，则$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=3．

Answer 1

分析 由题意画出图形，把$\overrightarrow{AD}$转化为含有$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的式子求解．

解答 解：如图，

∵BD=2DC，
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$．
∴$\overrightarrow{AD}$•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{2}{3}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}+\frac{2}{3}×{2}^{2}=3$．
故答案为：3．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．