Question

15．已知正△ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是（　　）

• A． [0，6]
• B． [-2，6]
• C． [0，2]
• D． [-2，2]

Answer 1

分析 建立适当的平面直角坐标系，设出点P的坐标，求出$\overrightarrow{PA}$、$\overrightarrow{PB}$，代入数量积公式得到关于θ的三角函数，利用正弦函数的性质得出结论．

解答 解：以△ABC外接圆圆心为原点建立平面直角坐标系，如图所示；
设A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），P（2cosθ，2sinθ）；
则$\overrightarrow{PA}$=（2cosθ-2，2sinθ），
$\overrightarrow{PB}$=（2cosθ+1，2sinθ-$\sqrt{3}$）；
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（2cosθ-2）（2cosθ+1）+2sinθ（2sinθ-$\sqrt{3}$）
=2-2cosθ-2$\sqrt{3}$sinθ
=2-4sin（θ+$\frac{π}{6}$）；
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-2≤$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$≤6，
即则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是[-2，6]．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量数量积运算问题，也考查了转化法与数形结合思想的应用问题，是综合性题目．