Question

20．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，第二象限的点M在双曲线C的渐近线上，且|OM|=a，若直线|MF|的斜率为$\frac{b}{a}$，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±x
• B． y=±2x
• C． y=±3x
• D． y=±4x

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，运用同角的三角函数关系式，求得M的坐标，再由直线的斜率公式，化简可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由|OM|=a，
即有M（-acos∠MOF，asin∠MOF），
即为tan∠MOF=$\frac{b}{a}$，sin²∠MOF+cos²∠MOF=1，
解得cos∠MOF=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{a}{c}$，sin∠MOF=$\frac{b}{c}$，
可得M（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
设F（-c，0），由直线MF的斜率为$\frac{b}{a}$，
可得$\frac{\frac{ab}{c}-0}{-\frac{{a}^{2}}{c}+c}$=$\frac{b}{a}$，
化简可得c²=2a²，b²=c²-a²=a²，
即有双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±x．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．