Question

16．已知各项均为正数的数列{a_n}首项为2，且满足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n（n+1）a_{n+1}^2=0$，公差不为零的等差数列{b_n}的前n项和为S_n，S₅=15，且b₁，b₃，b₉成等比数列，设${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）推导出a_n=（n+1）a_n-1，从而a_n-1=na_n-2，a_n-2=（n-1）a_n-3，…，a₂=3a₁，上面n-1个式子相乘，能求出a_n=（n+1）!．
（2）设{b_n}的公差d，5b₁+10d=15，（b₁+2d）²=b₁（b₁+8d），解得b₁=1，d=1，b_n=n，从而c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$=$\frac{n•n!}{（n+1）!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，由此能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}首项为2，且满足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n（n+1）a_{n+1}^2=0$，
∴${{a}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}-n（n+1）{{a}_{n+1}}^{2}$
=（a_n+na_n-1）（a_n-（n+1）a_n+1）=0，
∵a_n+na_n-1＞0，∴a_n=（n+1）a_n-1，
∴a_n-1=na_n-2，a_n-2=（n-1）a_n-3，…，a₂=3a₁，
上面n-1个式子相乘，得：
a_n=（n+1）!．
（2）设{b_n}的公差d，5b₁+10d=15，（b₁+2d）²=b₁（b₁+8d），
解得b₁=1，d=1，b_n=n，
c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$=$\frac{n•n!}{（n+1）!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$=1-$\frac{1}{（n+1）!}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查累乘法、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．