Question

17．已知z∈C，i是虚数单位，$\overline{z}$是z的共轭复数，则下列说法与“z为纯虚数”不等价的是（　　）

• A． z²＜0
• B． $z+\overline{z}=0$
• C． Rez=0且 Imz≠0
• D． z=|z|i或z=-|z|i，且|z|≠0

Answer 1

分析 由复数的基本概念逐一核对四个命题得答案．

解答 解：若z为纯虚数，则z=bi（b∈R且b≠0），则z²=-b²＜0，反之，若z²＜0，则z为纯虚数，∴z²＜0与“z为纯虚数”等价；
当z为实数时，有$z+\overline{z}=0$，∴由$z+\overline{z}=0$与“z为纯虚数”不等价；
Rez=0且 Imz≠0与“z为纯虚数”等价；
令z=a+bi（a，b∈R），则|z|=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，由z=|z|i或z=-|z|i，得a=0，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=±b$，
又|z|≠0，∴b≠0．
即z=|z|i或z=-|z|i，且|z|≠0与“z为纯虚数”等价．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查复数的基本概念，是中档题．