Question

19．设函数f（x）的=x+$\frac{a}{x}$图象过点A（2，$\frac{5}{2}$）．
（I）求实数a的值，并证明f（x）的图象关于原点对称；
（Ⅱ）证明函数f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

分析 （I）利用函数经过的点，列出方程求解实数a的值，利用函数是奇函数证明f（x）的图象关于原点对称；
（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）的=x+$\frac{a}{x}$的图象过点A（2，$\frac{5}{2}$）．，
所以    $\frac{5}{2}$=2+$\frac{a}{2}$⇒a=1，…（2分）
于是，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，因为$f（-x）=-x+\frac{1}{-x}=-f（x）$，
且函数f（x）在定义域为{x|x≠0}，所以函数f（x）为奇函数，
所以而f（x）的图象关于原点对称．…（4分）
（Ⅱ）证明：设x₁，x₂是（0，1）上的任意两个实数，且x₁＜x₂，则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}={x_1}-{x_2}+\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{{x_1}{x_2}-1}}{{{x_1}{x_2}}}$．
由x₁，x₂∈（0，1），得0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0，
又由x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0，
于是f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
所以函数f（x）在（0，1）上是减函数．…（12分）

点评 本题考查函数与方程的应用，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，计算能力．