Question

已知不等式（2+x）（3-x）≥0的解集为A，函数f（x）=

kx2+4x+k+3

（k＜0）的定义域为B．
（1）求集合A；
（2）若B⊆A，试求实数k的取值范围；
（3）若B=[x₁，x₂]且x₁＜x₂，又（x₁+1）（x₂+1）=-4，求x₂-x₁的值．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据不等式的解法即可求集合A；
（2）根据B⊆A，建立条件关系即可求实数k的取值范围；
（3）根据根与系数之间的关系即可求x₂-x₁的值

解答： 解：（1）由（2+x）（3-x）≥0得-2≤x≤3，即A=[-2，3]．
（2）要使函数有意义，则kx²+4x+k+3≥0，
若B⊆A，设g（x）=kx²+4x+k+3，（k＜0），
则满足

△≥0 g(3)≤0 g(-2)≤0 -2≤- 2 k ≤3

，
即

16-4k(k+3)≥0 10k+15≤0 5k-5≤0 -2≤- 2 k ≤3

，
解得-4≤k≤-

3

2

．
（3）要使函数有意义，则kx²+4x+k+3≥0，
若B=[x₁，x₂]且x₁＜x₂＜0，
则x₁，x₂是方程kx²+4x+k+3=0的两个根且x₁＜x₂＜0，
则x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=

k+3

k

，
∵（x₁+1）（x₂+1）=4，
∴x₁x₂+x₁+x₂=3，
即

k+3

k

-

4

k

=

k-1

k

=3，
则k=-

1

2

．
则x₁+x₂=-

4

k

=8，x₁x₂=

k+3

k

=-5，
则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64-4×（-5）=84，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
则x₁-x₂=-

84

=-2

21

．

点评：本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求解，综合考查函数的应用．