已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦距为4.其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(Ⅰ)求椭圆C的标准方程,(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点.M为直线x=-3上任意一点.过F作MF的垂线交椭圆C于点P.Q(i)证明:OM平分线段PQ,(ii)当$\frac{|MF|}{|PQ|}$最小时.求点M的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，M为直线x=-3上任意一点，过F作MF的垂线交椭圆C于点P，Q
（i）证明：OM平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当$\frac{|MF|}{|PQ|}$最小时，求点M的坐标．

分析（I）由椭圆C的焦距为4，及等边三角形的性质和a²=b²+c²，求得a，b，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）（i）设M（-3，m），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为N（x₀，y₀），k_MF=-m，设直线PQ的方程为x=my-2，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；
（ii）利用两点间距离公式及弦长公式将$\frac{|MF|}{|PQ|}$表示出来，由换元法和基本不等式，可得$\frac{|MF|}{|PQ|}$取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点M的坐标．

解答解：（Ⅰ）由题意可得c=2，
短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，可得
a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2b，即有a=$\sqrt{3}$b，a²-b²=4，
解得a=$\sqrt{6}$，b=$\sqrt{2}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）设M（-3，m），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
PQ的中点为N（x₀，y₀），k_MF=-m，
（i）证明：由F（-2，0），可设直线PQ的方程为x=my-2，
代入椭圆方程可得（m²+3）y²-4my-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{4m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
于是N（-$\frac{6}{3+{m}^{2}}$，$\frac{2m}{3+{m}^{2}}$），
则直线ON的斜率k_ON=-$\frac{m}{3}$，
又k_OM=-$\frac{m}{3}$，
∴k_OM=k_ON，
∴O，N，M三点共线，即有OM平分线段PQ；
（ii）由两点间距离公式得|MF|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$，
由弦长公式得|PQ|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{\sqrt{24（{m}^{2}+1）}}{3+{m}^{2}}$，
∴$\frac{|MF|}{|PQ|}$=$\frac{3+{m}^{2}}{2\sqrt{6}•\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
令t=$\sqrt{1+{m}^{2}}$（t≥1），
则$\frac{|MF|}{|PQ|}$=$\frac{{t}^{2}+2}{2\sqrt{6}t}$=$\frac{1}{2\sqrt{6}}$（t+$\frac{2}{t}$）≥$\frac{1}{2\sqrt{6}}$•2$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（当且仅当t²=2时，取“=”号），
∴当$\frac{|MF|}{|PQ|}$最小时，由t²=2=m²+1，得m=1或m=-1，
此时点M的坐标为（-3，1）或（-3，-1）．