Question

13．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=$\sqrt{3}$，且4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$．
（1）求角A的大小；          
（2）求△ABC的周长l取值范围．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式化简得到2（1-cosA）-2（cos²A-1）=$\frac{7}{2}$，解得即可；
（2）由由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2，得到b=2sinB，c=2sinC，再根据三角函数的性质即可求出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$，
∴2（1-cosA）-2（cos²A-1）=$\frac{7}{2}$
解得cosA=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴l=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵0＜B＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴2$\sqrt{3}$＜l≤3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简以及正弦定理得应用，属于中档题．