Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求${S_n}-n•{2^{n+1}}+50＜0$成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，从而可得数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而解得；
（Ⅱ） 化简b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，从而利用错位相减法求其前n项和，从而代入解不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，
解得，a₁=2；
当n≥2时，S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
作差化简可得，a_n=2a_n-1，
故数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故其通项公式a_n=2ⁿ；
（Ⅱ） b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
2S_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式作差可得，
S_n=-2-2²-…-2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=-2-$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+n•2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
故S_n-n•2ⁿ⁺¹+50=-2ⁿ⁺¹+52，
故当n≤4时，-2ⁿ⁺¹+52＞0，
当n≥5时，-2ⁿ⁺¹+52＜0，
故${S_n}-n•{2^{n+1}}+50＜0$成立的正整数n的最小值为5．

点评 本题考查了等比数列的判断与应用，同时考查了对数运算的应用及错位相减法的应用．