Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y）．
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件，可令x=y=1，得f（1），令x=y=-1，得f（-1）；
（2）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），代入f（-1）=0，再由奇偶性的定义，即可判断．

解答： 解　（1）因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）=yf（x）+xf（y），
所以令x=y=1，得f（1）=0，
令x=y=-1，得f（-1）=0；
（2）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
所以f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数．

点评：本题考查抽象函数的函数值的求法：赋值法，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义和赋值，属于中档题．