Question

已知函数f（x）=mx²-2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，则|x₁-x₂|的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由f（0）•f（1）＞0，即n（m+n）＜0，再由二次方程的韦达定理，得到|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4(m2+n2+mn) m2

=2

1+ n m +( n m )2

=2

( n m + 1 2 )2+ 3 4

，再由-1＜

n

m

＜0，即可得到范围．

解答： 解：函数f（x）=mx²-2（m+n）x+n，（m≠0）满足f（0）•f（1）＞0，
即有n（-m-n）＞0，即n（m+n）＜0，
由于x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，
则4（m+n）²-4mn＞0，x₁+x₂=

2(m+n)

m

，x₁x₂=

n

m

，
则|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4(m2+n2+mn) m2

=2

1+ n m +( n m )2

=2

( n m + 1 2 )2+ 3 4

，
由于n（m+n）＜0，即有

m

n

＜-1，则-1＜

n

m

＜0，
当

n

m

=-

1

2

，取得最小值2

3 4

=

3

，

n

m

→0时，|x₁-x₂|→2，
则有|x₁-x₂|∈[

3

，2）．
故答案为：[

3

，2）．

点评：本题考查二次函数的值域的求法，考查二次方程的韦达定理和运用，考查运算能力，属于中档题．