Question

已知抛物线C：y²=2px （p＞0）过点A（1，-2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）是否存在与直线OA（O为坐标原点）垂直的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且点A到l的距离等于3

5

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点在曲线上，即可求解抛物线方程．
（2）假设存在符合题意的直线l，求出方程为y=

1

2

x+t，联立方程组，通过直线l与抛物线C有公共点，利用求出t的范围．然后通过由点A到l的距离d=3

5

即可求出直线l的方程．

解答： 解 （1）将（1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=2p•1，以p=2．
故所求的抛物线C的方程为y²=4x，其准线方程为x=-1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=

1

2

x+t，由

y= 1 2 x+t y2=4x

得y²-8y+8t=0．因为直线l与抛物线C有公共点，所以△=64-32t≥0，解得t≤2．
另一方面，由点A到l的距离d=3

5

可得

|1+2+2t|

5

=3

5

，
解得t=5或t=-10．因为5∉（-∞，2]，-10∈（-∞，2]，
所以符合题意的直线l存在，其方程为y=

1

2

x-10即x-2y-20=0．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．