Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求a，b；
（2）判断函数的单调性，并用定义给出证明；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤2^-x在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）根据题目中的条件，得到参数a、b的方程，解方程组得到a、b的值；（2）利用函数单调性定义可证，得到本题结论；（3）本题可以参变量分离，然后求出相应函数的最值，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
∴

21+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

，
∴

a=-1 b=0

．
（2）由（1）得：f（x）=2^x+2^-x．
其单调性判断结论是：f（x）=2^x+2^-x在（-∞，0]上单调递减；在[0，-∞）上单调递增．
下面证明．
证明：在（-∞，0]任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=2x2+2-x2-2x1-2-x1
=（2 x2-2 x1）+（

1

2x2

-

1

2x1

）
=

(2x2-2x1)(2x22x1-1)

2x12x2

，
∵x₁＜x₂≤0，
∴2x1＞0，2x2＞0，2x1＜2x2≤1
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）=2^x+2^-x在（-∞，0]上单调递减．
同理可证明，f（x）=2^x+2^-x在[0，-∞）上单调递增．
（3）∵不等式mf（x）≤2^-x，
∴m（2^x+2^-x）≤2^-x，
∴m≤

2-x

2x+2-x

，
即m≤

1

22x+1

，
当x＞0时，2^2x+1＞2，

1

22x+1

∈(0，

1

2

)，
∴x的不等式mf（x）≤2^-x在（0，+∞）上恒成立，实数m的取值范围是：m≤0．

点评：本题考查了函数的解析式、函数的单调性以及恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．