Question

6．对于函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$，有下列3个命题：
①任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立；
②f（x）=2kf（x+2k）（k∈N^*），对于一切x∈[0，+∞）恒成立；
③函数y=f（x）-ln（x-1）在（1，+∞）上有3个零点；
则其中所有真命题的序号是①③．

Answer 1

分析 ①作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行判断，
②利用反例判断正误；
③根据函数的图象判断即可．

解答 解：①函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，x∈[0，2]}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈（2，+∞）}\end{array}\right.$的图象如图所示：
f（x）的最大值为1，最小值为-1，∴任取x₁、x₂∈[0，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤2恒成立，正确；
②f（$\frac{1}{2}$）=2f（$\frac{1}{2}$+2）=4f（$\frac{1}{2}$+4）=6f（$\frac{1}{2}$+6）≠8f（$\frac{1}{2}$+8），故不正确；
③如图所示，函数y=f（x）-ln（x-1）有3个零点；所以③正确．
故答案为：①③．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，函数最值的应用，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．