题目内容

14．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在髙三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
年级名次
是否近视		1～50951～1000
近视4132
不近视918
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否有95%的把握认为视力与学习成绩有关系？
（3）在（2 ）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了 9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这9人中任取3人，恰好有2人的年级名次在 1～50名的概率．
附：
P（K2＞k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
K2=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{a+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

分析 （1）根据等差数列的性质，求出相应的频率，即可估计，
（2）根据表中的数据，计算观测值k2，得出统计结论；
（2）用排列组合求出基本事件数，计算对应的概率．

解答 解：（1）设各组的频率为fi（i=1，2，3，4，5，6），
由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 27，24，21，18，
所以视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82人，
故全年级视力在5.0以下的人数约为$1000×\frac{82}{100}=820$．
（2）${K^2}=\frac{{100×{{（{41×81-32×9}）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{700}{73}≈4.110＞3.841$，
有95%的把握认为视力与学习成绩有关系．
（3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，
∴$P=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{3}{14}$．

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．

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