Question

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中正确的为

 

（将正确的序号都填上）
①f（x）既是奇函数，又是周期函数；
②y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称；
③f（x）的最大值为

4 3

9

；
④y=f（x）在[-

π

6

，

π

6

]上是增函数．

Answer 1

考点：三角函数的积化和差公式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：①由函数f（x）=cosxsin2x，?x∈R，可得f（-x）=-f（x），因此函数f（x）是奇函数，又f（x+2π）=f（x），可得函数f（x）是周期函数．
②由已知可得f（π-x）=f（x），可得y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称；
③f（x）=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，设sinx=t∈[-1，1]，则g（t）=2t-2t³，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
④由③可知：x∈[-

π

6

，

π

6

]，t∈[-

1

2

，

1

2

]∈[-

3

3

，

3

3

]为增函数．

解答： 解：①∵函数f（x）=cosxsin2x，?x∈R，f（-x）=cos（-x）sin（-2x）=-cosxsin2x=-f（x），因此函数f（x）是奇函数，
又f（x+2π）=cos（x+2π）sin（2x+4π）=cosxsin2x=f（x），∴函数f（x）是周期函数．可知①正确．
②∵f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=-cosx（-sin2x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于直线x=

π

2

对称；
③f（x）=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，设sinx=t∈[-1，1]，则g（t）=2t-2t³，g′（t）=2-6t²=-6(t+

3

3

)(t-

3

3

)，
令g′（t）＞0，解得-

3

3

＜t＜

3

3

，此时函数g（t）单调递增；令g′（t）＜0，解得-1≤t＜-

3

3

，或

3

3

＜t≤1，此时函数g（t）单调递减．
可知当t=

3

3

时，函数g（t）取得极大值，g(

3

3

)=

4 3

9

，而g（-1）=-2+2=0＜

4 3

9

，∴函数g（t）即f（x）取得最大值为

4 3

9

，正确；
④由③可知：x∈[-

π

6

，

π

6

]，t∈[-

1

2

，

1

2

]∈[-

3

3

，

3

3

]为增函数，正确．
综上可得：①②③④都正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了三角函数的奇偶性、单调性、周期性，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．